特征值、特征向量与谱分解Eigenvalues & Spectral Decomposition

📊 特征值就是方差：协方差矩阵的几何

把一列数据点先减去均值（中心化），再算协方差矩阵 C = (1/n)Σ(xᵢ−μ)(xᵢ−μ)ᵀ。它是对称半正定的，所以特征值恒为非负数，可以读成「方差」：

单位向量 u 上的投影方差等于二次型 uᵀCu，而它的最大值正好落在最大特征值的特征向量上 —— 这就是「第一主成分」的定义。把特征值按从大到小排列，λ₁/(λ₁+λ₂) 就是第一主轴的解释方差比：它接近 1 说明数据其实是一维的，压到一条线上也不损失多少信息。

💻 对称特征分解与幂迭代核心

// 对称 2x2 的闭式特征分解：先对称化，再用旋转角公式
function eigenSymmetric2(M) {
  var a = M.a, b = (M.b + M.c) / 2, d = M.d;
  var tr = a + d, diff = a - d;
  var rad = Math.sqrt(diff * diff + 4 * b * b);
  var l1 = (tr + rad) / 2, l2 = (tr - rad) / 2;   // l1 >= l2
  var v1 = normalize([b, l1 - a]);                // 属于 l1 的单位特征向量
  return { values: [l1, l2], vectors: [v1, [-v1[1], v1[0]]] };
}
// 幂迭代：反复施加 A 并归一化，逼近最大特征值方向
function powerIter(A, steps) {
  var v = [1, 0.37];                              // 随便挑一个非零起点
  for (var k = 0; k < steps; k++) {
    var w = [A.a * v[0] + A.b * v[1], A.c * v[0] + A.d * v[1]];
    var n = Math.hypot(w[0], w[1]);
    if (n < 1e-14) break;                         // 零矩阵：任何方向都是特征方向
    v = [w[0] / n, w[1] / n];
  }
  var Av = [A.a * v[0] + A.b * v[1], A.c * v[0] + A.d * v[1]];
  return { vector: v, value: v[0] * Av[0] + v[1] * Av[1] };  // 瑞利商
}