9 章 · 从向量到图拉普拉斯
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数学基础 Mathematics
从「向量的方向」到「图上的拉普拉斯」——九章一条线：向量与矩阵搭好线性代数的地基，导数与链式法则讲清模型怎么学，梯度、散度、拉普拉斯算子补上你在 ML 里天天用却从未定义的几何含义。
9
章节
120
预计学时
中级
难度
课程大纲
01
向量、范数与正交投影
点积为什么能当相似度？L1 的菱形尖角为什么让权重归零？拖动两根向量、变形范数等值线，把正则化与超平面讲成看得见的几何。
02
矩阵、线性变换与行列式
矩阵不是一堆数字，而是把整个空间揉搓变形的动作。拖动基向量看网格形变，亲手验证 AB ≠ BA，并用有向面积理解行列式。
03
特征值、特征向量与谱分解
特征值是矩阵无法扭转的那几根轴。拖动探针找出「不转向」的方向，看单位圆如何被拉成椭圆，再在点云上实时跑一遍 PCA —— 主成分、方差与正定性一次讲通。
04
SVD 奇异值分解与低秩近似
特征分解只对方阵有效，SVD 却对任何长方矩阵成立。看单位圆被「旋转 → 缩放 → 再旋转」三步拉成椭圆，再用滑块把一张 64×48 的图压到秩 k，最后算一笔 LoRA 的参数量账。
05
导数、偏导与局部线性化
导数是局部放大倍数。从放大镜下的切线，到数值微分的浴盆曲线，再到偏导数与切平面 —— 这一章只讲「导数本身」。
06
链式法则与计算图反向传播
复合是齿轮连乘，汇聚是分支相加。看伴随量逆向点亮神经元计算图，对比前向与反向 AD 复杂度，理解 ResNet 为什么能训练上千层。
07
梯度 · 最陡上升方向
把「沿梯度下降」这句你已用了 14 章的话补上几何含义：∇f 指哪、多长，为什么它垂直等高线。
14
散度 · 源与汇
向量场在某点是「冒出来」还是「吸进去」？小方盒四边通量亲手验证 ∇·F，并拆掉「散度 vs KL 散度」的同名陷阱。
15
拉普拉斯算子 · 平均与曲率
拉普拉斯 = 散度(梯度)。从二阶差分到图拉普拉斯 L = D − A，一路接到谱聚类、GCN 与热扩散。